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python数学建模实践

Python 微分方程（五）：热量为什么会自己摊平？

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2026-07-28 原文发表于知乎

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上一章我们看的是稳态问题：

两头条件都给定，空间曲线怎么连起来。

这一章再往前一步，把时间加回来。

一根两头固定温度的热棒，为什么中间一块热斑会慢慢散开，最后整根棒都变平？

先给一句人话答案：

每个点都在和左右邻居交换热量，所以高的地方会往低的地方流。

这就是热传导方程最核心的直觉。

偏微分方程的英文是 partial differential equation，简称 PDE。
先别急着背，它只是说：

未知量不只随一个自变量变，而是会同时随空间和时间变。

这一节的 takeaway：PDE 的难点不是更花哨，而是变量从一个方向变成了两个方向。

0. 先看最小故事

想象一根长度固定的细杆：

两端温度被钉死为 0
中间一开始有一个热包
热包会慢慢往两边摊开

我们想问的不是“某个点现在多热”，而是：

整根杆在每个位置、每个时刻到底多热？

这就不是一条曲线了，而是一张“温度场”。

这一节的 takeaway：PDE 不是单条时间曲线，而是“位置 + 时间”的二维变化。

1. 变量和方程

把温度写成 u(x, t)：

x 表示空间位置
t 表示时间
u 表示这个位置、这个时间的温度

一维热传导方程写成：

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

这里：

u_t 代表温度随时间怎么变
u_xx 代表空间上弯得有多厉害
alpha 是热扩散系数，越大说明热摊得越快

这个方程的人话版本是：

哪里比周围高，热量就会往外摊。

边界条件通常是：

$u(0,t)=0,\qquad u(L,t)=0$

也就是两端温度固定。

初始条件是：

u(x,0)=u_0(x)

也就是一开始那根杆上，温度分布长什么样。

这一节的 takeaway：热方程把“空间上的弯曲”直接变成“时间上的变化速度”。

2. 最小可用例子

如果一开始中间有一个热包，左右两端是冷的，那么直觉上会发生三件事：

中间先降温
两边先升温
最后整条曲线越来越平

这其实就是“高温向低温扩散”。

所以热方程不是在追求某个最优值，而是在描述：

温度如何自动摊平。

这一节的 takeaway：热传导的最小工作例子，就是一个中间热、两端冷的杆。

3. 为什么要离散化

PDE 直接在连续空间上算，通常不好手算。
但电脑最擅长的事情是：

把连续东西切成一格一格，再反复更新。

所以最常见的做法是有限差分。

有限差分的英文是 finite difference。
它的人话版本是：

用邻居之间的差，去近似导数。

对于二阶导数，有一个最常用的近似：

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\approx \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{\Delta x^2}$

这句话很重要，因为它告诉我们：

一个点未来怎么变，只由它左右两个邻居决定。

这一节的 takeaway：PDE 进电脑的第一步，通常是把空间切成网格。

4. 让时间一步步走

把上面的近似代回热方程，就得到显式更新公式：

$u_i^{n+1} = u_i^n + r\left(u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n\right)$

其中：

$r = \alpha \frac{\Delta t}{\Delta x^2}$

这里 r 不是什么新术语，你可以先把它理解成：

时间步长和空间步长拼出来的稳定参数。

如果 r 太大，数值解会炸掉；
如果 r 足够小，曲线就会稳稳地摊平。

最常见的显式格式里，稳定性通常要求：

$r \le \frac{1}{2}$

这一节的 takeaway：PDE 不只是“能不能算”，还要看“步长会不会把结果算炸”。

5. 代码怎么写

热方程可以直接用 numpy 做网格更新。

import numpy as np

L = 1.0          # 杆长
alpha = 0.15     # 热扩散系数
nx = 51          # 空间网格点数
dx = L / (nx - 1)

# 选一个稳定的时间步长
r = 0.45
dt = r * dx * dx / alpha

x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.exp(-80 * (x - 0.5) ** 2)  # 初始热包
u[0] = 0.0
u[-1] = 0.0

for _ in range(n_steps):
    u_new = u.copy()
    u_new[1:-1] = u[1:-1] + r * (u[2:] - 2 * u[1:-1] + u[:-2])
    u_new[0] = 0.0
    u_new[-1] = 0.0
    u = u_new

这段代码里最关键的是这一行：

u_new[1:-1] = u[1:-1] + r * (u[2:] - 2 * u[1:-1] + u[:-2])

它把“左右邻居”这个物理事实，直接变成了数组切片。

所以这类 PDE 代码的本质不是神秘算法，而是：

把公式翻译成网格上的邻居计算。

这一节的 takeaway：热方程的核心更新，只是在每个网格点上看左右邻居。

6. 结果怎么看

这个模型的结果应该有三个很清楚的特征：

热包会变矮
热量会向两边摊开
最后曲线会越来越平

如果你看到局部温度越来越尖，或者数值突然振荡，通常就是：

时间步长太大
空间网格太粗
稳定条件没满足

所以 PDE 不只是“有没有算出图”，而是：

图像是不是符合扩散直觉。

这一节的 takeaway：结果是否合理，第一眼看扩散形状，第二眼看稳定性。

7. 一个实用判断

遇到热方程这类 PDE 时，可以先问三个小问题：

我是不是已经把空间离散成网格了
时间步长是不是足够小
边界条件是不是写对了

如果这三件事都对，热包一般会按预期慢慢散开。

如果这三件事有一个错了，图就可能会炸。

这一节的 takeaway：PDE 的第一层验算，不是高级分析，而是网格、步长和边界。

8. 小结

这一篇压成一句话就是：

偏微分方程描述的是“空间 + 时间”上的变化，热传导方程的数值实现，最常见的方法就是把空间切成网格，再按时间一步步更新。

如果只记五句话，就记这五句：

PDE 是 partial differential equation
u(x,t) 同时依赖空间和时间
热方程告诉你哪里高温会往哪里摊
有限差分就是把导数换成邻居差
稳定性比“能不能写出代码”更重要

到这里，我们已经把微分方程从“一个起点往前推”，写到了“边界条件在两头”和“空间时间一起变”。后面如果再扩，就可以继续往反应扩散、波动方程，或者更贴近建模竞赛的耦合系统去写。

参考

SciPy solve_ivp: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.solve_ivp.html
PDE finite difference overview: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_method